李氏定积分公式(2)

二、B类定积分公式:

1、李氏条件:

① 自然数n=0、1、2、3、……

② a>1且a≠2n+1, 2n+1<a<2n+3, n=⌊(a-1)/2⌋‌(取整)。

2、李氏函数:(自变量a)(2n+1<a<2n+3)

g(n,a)=sin(aπ/2)Γ(1-a)=(π/2)/[Γ(a)cos(aπ/2)].

3、李氏定积分:

g(0,a)=∫(0,∞)x-a(cosx-1)dx.  (1<a<3)

g(1,a)=∫(0,∞)x-a(cosx-1++x2/2!)dx.  (3<a<5)

… … … … … … … … … … … … …

g(n,a)=∫(0,∞)x-a[cosx-∑(k=0…n)(-1)kx2k/(2k)!]dx.  (2n+1<a<2n+3)

4、B类李氏函数——不存在原始积分式(a<1)。(全定义问题)

5、当(0<a<1)时,∫(0,∞)x-acosxdx 仍有定义,且符合原公式。(证法:伽玛函数的留数定理法,正实轴变量积分=正虚轴变量积分)

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